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<!DOCTYPE html>

<title>Funktionentheorie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Funktionentheorie</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>Funktionentheorie</b> ist ein <a href="Teilgebiet_der_Mathematik" class="mw-redirect" title="Teilgebiet der Mathematik">Teilgebiet der Mathematik</a>. Sie befasst sich mit der Theorie <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion">holomorpher</a>, also differenzierbarer <a href="Komplexwertige_Funktion" title="Komplexwertige Funktion">komplexwertiger Funktionen</a> mit komplexen Variablen. Da insbesondere die Funktionentheorie einer komplexen Variablen reichlich Gebrauch von Methoden aus der reellen <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> macht, nennt man das Teilgebiet auch <b>komplexe Analysis</b>.

</p><p>Zu den Hauptbegründern der Funktionentheorie gehören <a href="Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Augustin-Louis Cauchy</a>, <a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> und <a href="Karl_Weierstra%C3%9F" title="Karl Weierstraß">Karl Weierstraß</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktionentheorie_in_einer_komplexen_Variablen">Funktionentheorie in einer komplexen Variablen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Komplexe_Funktionen">Komplexe Funktionen</h3></div>

<p>Eine <i>komplexe Funktion</i> ordnet einer <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahl</a> eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahlen</a> in der Form <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+iy}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+iy}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceb1c6ce62a20dbfe9cb3d82dca889577b469703.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.128ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+iy}" loading="lazy"></span> geschrieben werden kann, lässt sich eine allgemeine Form einer komplexen Funktion durch

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+iy\mapsto f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3377e791357b67ce8ce9d1a633bc82da6e08aed3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.813ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x+iy\mapsto f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>darstellen. Dabei sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,u(x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,u(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bd9b9bb967f378ad6760265be42a2c6542a6c73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,u(x,y)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,v(x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,v(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84eb5046faecf581c8583ca8090ddfe27495e635.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,v(x,y)}" loading="lazy"></span> reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span> abhängen. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,u(x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,u(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bd9b9bb967f378ad6760265be42a2c6542a6c73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,u(x,y)}" loading="lazy"></span> heißt der <i>Realteil</i> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,v(x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,v(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84eb5046faecf581c8583ca8090ddfe27495e635.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,v(x,y)}" loading="lazy"></span> der <i>Imaginärteil</i> der Funktion. Insofern ist eine komplexe Funktion nichts anderes als eine Abbildung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"></span> nach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"></span> (also eine Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die Funktionentheorie auch mit Methoden

der reellen Analysis aufbauen. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex-differenzierbare Funktionen betrachtet und dabei die multiplikative Struktur des Körpers der komplexen Zahlen ins Spiel bringt, die dem Vektorraum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"></span> fehlt. Die grafische Darstellung komplexer Funktionen ist etwas umständlicher als gewohnt, da nun vier Dimensionen wiedergegeben werden müssen. Aus diesem Grund behilft man sich mit Farbtönen oder -sättigungen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Holomorphe_Funktion">Holomorphe Funktion</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion">Holomorphe Funktion</a></i></div>

<p>Der Differenzierbarkeitsbegriff der <a href="Eindimensional" class="mw-redirect" title="Eindimensional">eindimensionalen</a> reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur <a href="Komplexe_Differenzierbarkeit" class="mw-redirect" title="Komplexe Differenzierbarkeit">komplexen Differenzierbarkeit</a> erweitert. Analog zum reellen Fall definiert man: Eine Funktion einer komplexen Variablen heißt <i>komplex-differenzierbar</i> (im Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span>), falls der Grenzwert

</p>

<msup>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(a):=\lim _{w\to 0}{\frac {f(a+w)-f(a)}{w}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ed555cfb250982b8aeec4e3a7137130e939da8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:29.635ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle f'(a):=\lim _{w\to 0}{\frac {f(a+w)-f(a)}{w}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>existiert. Dabei muss <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> in einer <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> definiert sein. Für die Definition des Grenzwerts muss dabei der <a href="Komplexe_Zahl#Als_normierter,_metrischer_und_topologischer_Raum" title="Komplexe Zahl">komplexe Abstandsbegriff</a> verwendet werden.

</p><p>Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die <i>komplexe Differenzierbarkeit</i> und die <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">Differenzierbarkeit</a> der zweidimensionalen reellen Analysis (<i>reelle Differenzierbarkeit</i>). Komplex-differenzierbare Funktionen sind auch reell-differenzierbar, die Umkehrung gilt nicht ohne zusätzliche Voraussetzungen.

</p><p>Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex-differenzierbar sind, nennt man <i>holomorph</i> oder <i>analytisch</i>. Diese haben eine Reihe hervorragender Eigenschaften, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt – eben die Funktionentheorie.

Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex-differenzierbar ist, automatisch beliebig oft komplex-differenzierbar, was im reellen Fall natürlich nicht gilt.

</p><p>Einen anderen Zugang zur Funktionentheorie bietet das <a href="Cauchy-Riemannsche_partielle_Differentialgleichungen" title="Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen">System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen</a>

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{x}u(x,y)&=\partial _{y}v(x,y),\\\partial _{y}u(x,y)&=-\partial _{x}v(x,y).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ba9ec0eb05ff0a1625a7a1c4f6bbfd3fc98e947.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.233ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{x}u(x,y)&=\partial _{y}v(x,y),\\\partial _{y}u(x,y)&=-\partial _{x}v(x,y).\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Eine Funktion ist nämlich genau dann komplex differenzierbar in einem Punkt, wenn sie dort reell differenzierbar ist und das System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Daher könnte man die Funktionentheorie auch als Teilgebiet der Theorie der <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> verstehen. Jedoch ist die Theorie mittlerweile zu umfangreich und zu vielseitig mit anderen Teilgebieten der Analysis vernetzt, als dass man sie in den Kontext der partiellen Differentialgleichungen einbetten würde.

</p><p>Geometrisch interpretieren lässt sich die komplexe Differenzierbarkeit als (lokale) Approximierbarkeit durch orientierungstreue affine Abbildungen, genauer durch Verkettungen von Drehungen, Streckungen und Translationen. Entsprechend ist die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen äquivalent damit, dass die zugehörige <a href="Jacobi-Matrix" title="Jacobi-Matrix">Jacobi-Matrix</a> die Darstellungsmatrix einer Drehstreckung ist. Holomorphe Abbildungen erweisen sich demzufolge (abseits der Ableitungsnullstellen) als lokal konform, d. h. winkel- und orientierungstreu.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cauchysche_Integralformel">Cauchysche Integralformel</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Cauchysche_Integralformel" title="Cauchysche Integralformel">Cauchysche Integralformel</a></i></div>

<p>Mit einem Integrationsweg, der keinerlei Singularitäten von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> umläuft und für dessen Umlaufzahl um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span> gilt, dass

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {1}{w-z}}\mathrm {d} w,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db5c31ae53f4690eaa8b52979fdc092117c327a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.394ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {1}{w-z}}\mathrm {d} w,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gilt die <a href="Cauchysche_Integralformel" title="Cauchysche Integralformel">cauchysche Integralformel</a>:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(w)}{w-z}}\mathrm {d} w.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3820702125786a03eedf1390f57d956eea66935d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.408ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(w)}{w-z}}\mathrm {d} w.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Diese besagt, dass der Wert einer komplex-differenzierbaren Funktion auf einem Gebiet nur von den Funktionswerten auf dem Rand des Gebiets abhängt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionen_mit_Singularitäten"><span id="Funktionen_mit_Singularit.C3.A4ten"></span>Funktionen mit Singularitäten</h3></div>

<p>Da die Menge der holomorphen Funktionen recht klein ist, betrachtet man in der Funktionentheorie auch Funktionen, die außer in <a href="Isolierter_Punkt" title="Isolierter Punkt">isolierten Punkten</a> überall holomorph sind. Diese isolierten Punkte werden <a href="Isolierte_Singularit%C3%A4t" title="Isolierte Singularität">isolierte Singularitäten</a> genannt. Ist eine Funktion in einer Umgebung um eine Singularität beschränkt, so kann man die Funktion in der Singularität holomorph fortsetzen. Diese Aussage heißt <a href="Riemannscher_Hebbarkeitssatz" title="Riemannscher Hebbarkeitssatz">riemannscher Hebbarkeitssatz</a>. Ist eine Singularität <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}" loading="lazy"></span> einer Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> nicht hebbar, hat jedoch die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (z-z_{0})^{k}f(z)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (z-z_{0})^{k}f(z)}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c662fad27de25eaf06e879b76bb84ee9f0ffd1f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.138ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (z-z_{0})^{k}f(z)}" loading="lazy"></span> in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}" loading="lazy"></span> eine hebbare Singularität, so spricht man von einer <a href="Polstelle" title="Polstelle">Polstelle</a> k-ter Ordnung, wobei k minimal gewählt ist. Hat eine Funktion isolierte Polstellen und ist sonst holomorph, so nennt man die Funktion <a href="Meromorphe_Funktion" title="Meromorphe Funktion">meromorph</a>. Ist die Singularität weder hebbar noch ein Pol, so spricht man von einer wesentlichen Singularität. Nach dem <a href="Satz_von_Picard" title="Satz von Picard">Satz von Picard</a> sind Funktionen mit einer wesentlichen Singularität dadurch charakterisiert, dass es höchstens einen Ausnahmewert a gibt, so dass

sie in jeder beliebig kleinen Umgebung der Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert mit höchstens der Ausnahme a annehmen.

</p><p>Da man jede holomorphe Funktion in eine <a href="Potenzreihe" title="Potenzreihe">Potenzreihe</a> entwickeln kann, kann man auch Funktionen mit hebbaren Singularitäten in Potenzreihen entwickeln. Meromorphe Funktionen können in eine <a href="Laurent-Reihe" title="Laurent-Reihe">Laurent-Reihe</a> entwickelt werden, die nur endlich viele Glieder mit negativer Potenz haben, und die Laurent-Reihen von Funktionen mit wesentlicher Singularität haben eine nicht abbrechende Entwicklung der Potenzen mit negativen Exponenten. Der Koeffizient <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{-1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{-1}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2238e179fc0f9004707cbfdf6f42510b3c89ee3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.563ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{-1}}" loading="lazy"></span> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a413993d48109bebd5305420e267436373d5bb8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.206ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}" loading="lazy"></span> der Laurent-Entwicklung heißt <a href="Residuum_(Funktionentheorie)" title="Residuum (Funktionentheorie)">Residuum</a>. Nach dem <a href="Residuensatz" title="Residuensatz">Residuensatz</a> kann man nur mit Hilfe dieses Wertes Integrale über meromorphe Funktionen und über Funktionen mit wesentlichen Singularitäten bestimmen. Dieser Satz ist nicht nur in der Funktionentheorie von Bedeutung, denn man kann mit Hilfe dieser Aussage auch Integrale aus der reellen Analysis bestimmen, die wie das <a href="Fehlerintegral" title="Fehlerintegral">gaußsche Fehlerintegral</a> keine geschlossene Darstellung der <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktion</a> besitzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_wichtige_Themen_und_Ergebnisse">Weitere wichtige Themen und Ergebnisse</h3></div>

<p>Wichtige Ergebnisse sind außerdem noch der <a href="Riemannscher_Abbildungssatz" title="Riemannscher Abbildungssatz">riemannsche Abbildungssatz</a> und der <a href="Fundamentalsatz_der_Algebra" title="Fundamentalsatz der Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a>. Letzterer besagt, dass sich ein <a href="Polynom" title="Polynom">Polynom</a> im Bereich der komplexen Zahlen vollständig in <a href="Linearfaktor" class="mw-redirect" title="Linearfaktor">Linearfaktoren</a> zerlegen lässt. Für Polynome im Bereich der reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen (mit reellen Linearfaktoren) nicht möglich.

</p><p>Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die <a href="Analytische_Fortsetzung" title="Analytische Fortsetzung">analytische Fortsetzbarkeit</a> von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereiches</a> und darüber hinaus.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktionentheorie_in_mehreren_komplexen_Variablen">Funktionentheorie in mehreren komplexen Variablen</h2></div>

<p>Es gibt auch komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Im Vergleich zur <a href="Analysis" title="Analysis">reellen Analysis</a> gibt es in der komplexen Analysis fundamentale Unterschiede zwischen Funktionen einer und mehrerer Variablen. In der Theorie holomorpher Funktionen mehrerer Variablen gibt es kein Analogon zum <a href="Cauchyscher_Integralsatz" title="Cauchyscher Integralsatz">cauchyschen Integralsatz</a>. Auch der <a href="Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen" title="Identitätssatz für holomorphe Funktionen">Identitätssatz</a> gilt nur in einer abgeschwächten Form für holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher. Die cauchysche Integralformel jedoch lässt sich ganz analog auf mehrere Variablen verallgemeinern. In dieser allgemeineren Form nennt man sie auch <a href="Bochner-Martinelli-Formel" title="Bochner-Martinelli-Formel">Bochner-Martinelli-Formel</a>. Außerdem besitzen meromorphe Funktionen mehrerer Variablen keine <a href="Isolierte_Singularit%C3%A4t" title="Isolierte Singularität">isolierten Singularitäten</a>, was aus dem sogenannten Kugelsatz von Hartogs folgt, und als Konsequenz auch keine isolierten <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstellen</a>. Auch der <a href="Riemannscher_Abbildungssatz" title="Riemannscher Abbildungssatz">riemannsche Abbildungssatz</a> – ein Höhepunkt der Funktionentheorie in einer Variablen – hat kein Äquivalent in höheren <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimensionen</a>. Nicht einmal die beiden natürlichen Verallgemeinerungen der eindimensionalen <a href="Kreisscheibe" class="mw-redirect" title="Kreisscheibe">Kreisscheibe</a>, die <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> und der <a href="Polyzylinder" title="Polyzylinder">Polyzylinder</a>, sind in mehreren Dimensionen <a href="Biholomorph" class="mw-redirect" title="Biholomorph">biholomorph</a> äquivalent. Ein großer Teil der Funktionentheorie mehrerer Variablen beschäftigt sich mit Fortsetzungsphänomenen (riemannsche Hebbarkeitssätze, Kugelsatz von Hartogs, Satz von <a href="Salomon_Bochner" title="Salomon Bochner">Bochner</a> über Röhrengebiete, Cartan-Thullen-Theorie). Die Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen wird zum Beispiel in der <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> benutzt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Komplexe_Geometrie">Komplexe Geometrie</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Komplexe_Geometrie" class="mw-redirect" title="Komplexe Geometrie">Komplexe Geometrie</a></i></div>

<p>Die komplexe Geometrie ist ein Teilgebiet der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>, das auf Methoden der Funktionentheorie zurückgreift. In anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie wie der <a href="Differentialtopologie" title="Differentialtopologie">Differentialtopologie</a> oder der <a href="Riemannsche_Geometrie" title="Riemannsche Geometrie">riemannschen Geometrie</a> werden <a href="Glatte_Mannigfaltigkeit" class="mw-redirect" title="Glatte Mannigfaltigkeit">glatte Mannigfaltigkeiten</a> mit Techniken aus der reellen Analysis untersucht. In der komplexen Geometrie dagegen werden <a href="Mannigfaltigkeit" title="Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a> mit <a href="Komplexe_Struktur" class="mw-redirect" title="Komplexe Struktur">komplexen Strukturen</a> untersucht. Im Gegensatz zu den glatten Mannigfaltigkeiten ist es auf komplexen Mannigfaltigkeiten möglich, mit Hilfe des <a href="Komplexe_Differentialform" title="Komplexe Differentialform">Dolbeault-Operators</a> holomorphe Abbildungen zu definieren. Diese Mannigfaltigkeiten werden dann mit Methoden der Funktionentheorie und der <a href="Algebraische_Geometrie" title="Algebraische Geometrie">algebraischen Geometrie</a> untersucht. Im vorigen Abschnitt wurde erklärt, dass es große Unterschiede zwischen der Funktionentheorie einer Veränderlichen und der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher gibt. Diese Unterschiede spiegeln sich auch in der komplexen Geometrie wider. Die Theorie der <a href="Riemannsche_Fl%C3%A4che" title="Riemannsche Fläche">riemannschen Flächen</a> ist ein Teilgebiet der komplexen Geometrie und beschäftigt sich ausschließlich mit Flächen mit komplexer Struktur, also mit eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten. Diese Theorie ist reichhaltiger als die Theorie der n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktionentheoretische_Methoden_in_anderen_mathematischen_Teilgebieten">Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten</h2></div>

<p>Eine klassische Anwendung der Funktionentheorie liegt in der <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a>. Benutzt man dort funktionentheoretische Methoden, nennt man dieses Gebiet dann <a href="Analytische_Zahlentheorie" title="Analytische Zahlentheorie">analytische Zahlentheorie</a>. Ein wichtiges Ergebnis ist beispielsweise der <a href="Primzahlsatz" title="Primzahlsatz">Primzahlsatz</a>.

</p><p>Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind

auch Realteile von holomorphen Funktionen. Damit lassen sich diese

Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann

man oft Zusammenhänge und Eigenschaften von Funktionen finden, die

im Reellen verborgen bleiben, zum Beispiel die <a href="Eulersche_Identit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Eulersche Identität">eulersche Identität</a>.

Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> (beispielsweise in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> die Darstellung von <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktionen</a>, sowie in der <a href="Elektrotechnik" title="Elektrotechnik">Elektrotechnik</a> <a href="Zweidimensional" class="mw-redirect" title="Zweidimensional">zweidimensionale</a> <a href="Elektrischer_Strom" title="Elektrischer Strom">Strom</a>-<a href="Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">Spannungs</a>-<a href="Diagramm" title="Diagramm">Diagramme</a>).

Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der <a href="Fourier-Reihe" class="mw-redirect" title="Fourier-Reihe">Fourier-Reihe</a> und für die <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a>. In vielen Fällen lassen sich diese mit Methoden der Funktionentheorie berechnen.

</p><p>Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonische Funktionen</a> sind, also die <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a> erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a>, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.

</p><p>Das Wegintegral einer holomorphen Funktion ist vom Weg unabhängig. Dies war historisch das erste Beispiel einer <a href="Homotopie" title="Homotopie">Homotopieinvarianz</a>. Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der <a href="Algebraische_Topologie" title="Algebraische Topologie">algebraischen Topologie</a>, beginnend mit Bernhard Riemann.

</p><p>In der Theorie der komplexen <a href="Banachalgebra" title="Banachalgebra">Banachalgebren</a> spielen funktionentheoretische Mittel eine wichtige Rolle, ein typisches Beispiel ist der <a href="Satz_von_Gelfand-Mazur" title="Satz von Gelfand-Mazur">Satz von Gelfand-Mazur</a>. Der <a href="Holomorpher_Funktionalkalk%C3%BCl" title="Holomorpher Funktionalkalkül">holomorphe Funktionalkalkül</a> erlaubt die Anwendung holomorpher Funktionen auf Elemente einer Banachalgebra, auch ein <a href="Holomorpher_Funktionalkalk%C3%BCl_mehrerer_Ver%C3%A4nderlicher" title="Holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher">holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher</a> ist möglich.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wichtige_Sätze"><span id="Wichtige_S.C3.A4tze"></span>Wichtige Sätze</h3></div>

<ul><li><a href="Cauchyscher_Integralsatz" title="Cauchyscher Integralsatz">Cauchyscher Integralsatz</a></li>

<li><a href="Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen" title="Identitätssatz für holomorphe Funktionen">Identitätssatz</a></li>

<li><a href="Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionentheorie)" class="mw-redirect" title="Satz von der offenen Abbildung (Funktionentheorie)">Satz von der Gebietstreue</a></li>

<li><a href="Satz_von_Liouville_(Funktionentheorie)" title="Satz von Liouville (Funktionentheorie)">Satz von Liouville</a></li>

<li><a href="Satz_von_Morera" title="Satz von Morera">Satz von Morera</a></li>

<li><a href="Weierstra%C3%9Fscher_Konvergenzsatz" title="Weierstraßscher Konvergenzsatz">Weierstraßscher Konvergenzsatz</a></li>

<li><a href="Riemannscher_Abbildungssatz" title="Riemannscher Abbildungssatz">Riemannscher Abbildungssatz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ganze_Funktionen">Ganze Funktionen</h3></div>

<ul><li><a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a></li>

<li><a href="Trigonometrische_Funktionen" class="mw-redirect" title="Trigonometrische Funktionen">Trigonometrische Funktionen</a></li>

<li><a href="Hyperbelfunktionen" class="mw-redirect" title="Hyperbelfunktionen">Hyperbelfunktionen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Meromorphe_Funktionen">Meromorphe Funktionen</h3></div>

<ul><li><a href="Gammafunktion" title="Gammafunktion">Gammafunktion</a></li>

<li><a href="Elliptische_Funktionen" class="mw-redirect" title="Elliptische Funktionen">Elliptische Funktionen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Lars_Ahlfors" class="mw-redirect" title="Lars Ahlfors">Lars Ahlfors</a>: <cite style="font-style:italic">Complex Analysis</cite>. McGraw-Hill, 1953.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Lars+Ahlfors&rft.btitle=Complex+Analysis&rft.date=1953&rft.genre=book&rft.pub=McGraw-Hill" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Heinrich_Behnke" title="Heinrich Behnke">Heinrich Behnke</a>, Friedrich Sommer: <cite style="font-style:italic">Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen</cite>. 3. Auflage. Springer, Berlin 1976, ISBN 978-3-540-07768-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Heinrich+Behnke%2C+Friedrich+Sommer&rft.btitle=Theorie+der+analytischen+Funktionen+einer+komplexen+Ver%C3%A4nderlichen&rft.date=1976&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540077688&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Ludwig_Bieberbach" title="Ludwig Bieberbach">Ludwig Bieberbach</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Funktionentheorie</cite>. 2 Bände. Teubner, 1923.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Ludwig+Bieberbach&rft.btitle=Lehrbuch+der+Funktionentheorie&rft.date=1923&rft.genre=book&rft.pub=Teubner&rft.volume=2+B%C3%A4nde" style="display:none"> </span></li>

<li>Rolf Busam, <a href="Eberhard_Freitag" title="Eberhard Freitag">Eberhard Freitag</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 4. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Rolf+Busam%2C+Eberhard+Freitag&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2006&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=3540317643&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Heinrich Durege: <cite style="font-style:italic">Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Grösse</cite>. 1.–5. Auflage. Teubner (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/elementedertheor00duruoft/mode/1up">archive.org</a> – 1882–1906).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Heinrich+Durege&rft.btitle=Elemente+der+Theorie+der+Funktionen+einer+komplexen+ver%C3%A4nderlichen+Gr%C3%B6sse&rft.edition=1.-5.&rft.genre=book&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </span></li>

<li>Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie</cite>. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Wolfgang+Fischer%2C+Ingo+Lieb&rft.btitle=Funktionentheorie&rft.date=2003&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.isbn=3528772476&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg" style="display:none"> </span></li>

<li>Joseph Anton Gmeiner, <a href="Otto_Stolz_(Mathematiker)" title="Otto Stolz (Mathematiker)">Otto Stolz</a>: <cite style="font-style:italic">Einleitung in die Funktionentheorie</cite>. Bände 1. u. 2. Teubner, 1904.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Joseph+Anton+Gmeiner%2C+Otto+Stolz&rft.btitle=Einleitung+in+die+Funktionentheorie&rft.date=1904&rft.genre=book&rft.pub=Teubner&rft.volume=B%C3%A4nde+1.+u.+2." style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Klaus_J%C3%A4nich" title="Klaus Jänich">Klaus Jänich</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie</cite>. 6. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Klaus+J%C3%A4nich&rft.btitle=Funktionentheorie&rft.date=2004&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.isbn=3540203923&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="William_Fogg_Osgood" title="William Fogg Osgood">William Fogg Osgood</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Funktionentheorie</cite>. Bände 1.2.3. Teubner, 1923 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACM2537">hti.umich.edu</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=William+Fogg+Osgood&rft.btitle=Lehrbuch+der+Funktionentheorie&rft.date=1923&rft.genre=book&rft.pub=Teubner&rft.volume=B%C3%A4nde+1.2.3." style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Alfred_Pringsheim" title="Alfred Pringsheim">Alfred Pringsheim</a>: <cite style="font-style:italic">Vorlesungen über Funktionenlehre</cite>. Teubner, 1925 (Weierstrasscher Standpunkt).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Alfred+Pringsheim&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+Funktionenlehre&rft.date=1925&rft.genre=book&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Reinhold_Remmert" title="Reinhold Remmert">Reinhold Remmert</a>, <a href="Georg_Schumacher_(Mathematiker)" title="Georg Schumacher (Mathematiker)">Georg Schumacher</a>: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 1</cite>. 5. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Reinhold+Remmert%2C+Georg+Schumacher&rft.btitle=Funktionentheorie+1&rft.date=2002&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=3540590757&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Reinhold Remmert, Georg Schumacher: <cite style="font-style:italic">Funktionentheorie 2</cite>. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-40432-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Reinhold+Remmert%2C+Georg+Schumacher&rft.btitle=Funktionentheorie+2&rft.date=2007&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3540404325&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Volker Scheidemann: <cite style="font-style:italic">Introduction to complex analysis in several variables</cite>. Birkhäuser, Basel 2005, ISBN 3-7643-7490-X.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Volker+Scheidemann&rft.btitle=Introduction+to+complex+analysis+in+several+variables&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=376437490X&rft.place=Basel&rft.pub=Birkh%C3%A4user" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Ian_Stewart_(Mathematiker)" title="Ian Stewart (Mathematiker)">Ian Stewart</a>, David Tall: <cite style="font-style:italic">Complex Analysis</cite>. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Ian+Stewart%2C+David+Tall&rft.btitle=Complex+Analysis&rft.date=1997&rft.genre=book&rft.isbn=0521245133&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Carl_Johannes_Thomae" title="Carl Johannes Thomae">Carl Johannes Thomae</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen Veränderlichen</cite>. Nebert, Halle (Saale) 1898 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://resolver.library.cornell.edu/math/1934273">resolver.library.cornell.edu</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktionentheorie&rft.au=Carl+Johannes+Thomae&rft.btitle=Elementare+Theorie+der+analytischen+Functionen+einer+complexen+Ver%C3%A4nderlichen&rft.date=1898&rft.genre=book&rft.place=Halle+%28Saale%29&rft.pub=Nebert" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikiversity"></span></span></div><b><a href="https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie_(Osnabr%C3%BCck_2023-2024)" class="extiw external" title="v:Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)">Wikiversity: Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)</a></b> – Kursmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Funktionentheorie" class="extiw external" title="b:Einführung in die Funktionentheorie">Wikibooks: Eine Vorlesung über Funktionentheorie</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4018935-1">4018935-1</a></span> </div>

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